SciPy 信号处理

本章目标

掌握 Butterworth 滤波器的设计与零相位滤波
学会使用 signal.convolve 进行信号卷积运算
理解 FFT（快速傅里叶变换）的频域分析方法
掌握 signal.find_peaks 进行信号峰值检测

重点方法与概念速览

名称	类型	作用
`signal.butter(N, Wn, btype, fs)`	函数	设计 Butterworth 滤波器
`signal.filtfilt(b, a, x)`	函数	零相位滤波（前后各滤一次）
`signal.convolve(in1, in2, mode)`	函数	信号卷积
`fft.fft(x)`	函数	快速傅里叶变换
`fft.fftfreq(n, d)`	函数	生成对应的频率轴
`signal.find_peaks(x, height, distance)`	函数	一维信号峰值检测

1. 滤波器设计

`signal.butter` / `signal.filtfilt`

作用

signal.butter 设计 Butterworth 滤波器，返回系数 (b, a)。Butterworth 滤波器的特点是通带内频率响应最大平坦（无纹波）。signal.filtfilt 进行零相位滤波——前后各滤一次消除相位延迟，但不能用于实时处理。

重点方法

python

signal.butter(N, Wn, btype='low', fs=None)
signal.filtfilt(b, a, x)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`N`	`int`	滤波器阶数	`4`
`Wn`	`float`、`list[float]`	截止频率；指定 `fs` 时单位为 Hz，否则为归一化频率 (0~1)	`10`
`btype`	`str`	滤波器类型：`'low'` / `'high'` / `'band'`，默认为 `'low'`	`'low'`
`fs`	`float` 或 `None`	采样频率（Hz），默认为 `None`	`1000`
`b` / `a`	`ndarray`	滤波器系数（`butter` 的返回值）	`b, a`
`x`	`array_like`	待滤波信号	带噪声的正弦波

示例代码

python

import numpy as np
from scipy import signal

np.random.seed(42)
t = np.linspace(0, 1, 1000)
clean = np.sin(2 * np.pi * 5 * t)         # 5Hz 正弦波
noise = 0.5 * np.random.randn(len(t))
noisy = clean + noise

# Butterworth 低通滤波器（4阶，截止频率 10Hz）
b, a = signal.butter(4, 10, btype='low', fs=1000)
filtered = signal.filtfilt(b, a, noisy)

print(f"信号长度: {len(t)}, 采样率: 1000 Hz")
print(f"噪声信号标准差: {np.std(noisy):.4f}")
print(f"滤波后标准差: {np.std(filtered):.4f}")
print(f"纯信号标准差 (1/√2): {1/np.sqrt(2):.4f}")

输出

text

信号长度: 1000, 采样率: 1000 Hz
噪声信号标准差: 0.8956
滤波后标准差: 0.7066
纯信号标准差 (1/√2): 0.7071

理解重点

5Hz 信号叠加噪声后标准差约 0.90，滤波后降至约 0.71（接近纯正弦波的 $1 / \sqrt{2} \approx 0.707$ ）
截止频率 10Hz 保留了 5Hz 信号分量，滤除了大部分高频噪声
filtfilt 比 lfilter 多一次反向滤波——消除相位延迟，但不能实时使用
滤波器阶数越高过渡带越陡峭，但可能引入更多振铃效应

2. 卷积运算

`signal.convolve`

作用

计算两个信号的卷积。滤波本质上就是信号与滤波器核的卷积。mode 控制输出长度和边界处理方式。

重点方法

python

signal.convolve(in1, in2, mode='full')

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`in1`	`array_like`	输入信号	`[1, 2, 3, 4, 5]`
`in2`	`array_like`	卷积核（或第二个信号）	`[1, 0, -1]`
`mode`	`str`	输出模式：`'full'`（完整，长度 n1+n2−1）/ `'same'`（与 in1 等长）/ `'valid'`（无边界效应），默认为 `'full'`	`'same'`

示例代码

python

import numpy as np
from scipy import signal

x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
h = np.array([1, 0, -1])  # 差分算子

yFull = signal.convolve(x, h, mode='full')
ySame = signal.convolve(x, h, mode='same')

print(f"信号 x: {x}")
print(f"核 h: {h}")
print(f"卷积 (full): {yFull}")
print(f"卷积 (same): {ySame}")

输出

text

信号 x: [1 2 3 4 5]
核 h: [ 1  0 -1]
卷积 (full): [ 1  2  2  2  2 -4 -5]
卷积 (same): [ 2  2  2  2 -4]

理解重点

核 [1, 0, -1] 是差分算子——卷积结果近似反映信号的变化率
full 模式输出长度 5+3−1=7，包含边界效应
same 模式输出长度与输入相同（5），截取中间部分
卷积满足交换律和结合律：convolve(x, h) = convolve(h, x)

3. 傅里叶变换

`fft.fft` / `fft.fftfreq`

作用

fft.fft 将时域信号变换到频域，返回复数频谱。fft.fftfreq 生成对应的频率轴。频谱的幅度 $| Y (f) |$ 反映各频率成分的强度。FFT 是 $O (n \log n)$ 算法，远快于 DFT 的 $O (n^{2})$ 。

重点方法

python

fft.fft(x)
fft.fftfreq(n, d=1.0)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`x`	`array_like`	时域信号	5Hz + 50Hz 混合正弦波
`n`	`int`	采样点数（`fftfreq` 的第一个参数）	`1000`
`d`	`float`	采样间隔 = 1/采样率，默认为 `1.0`	`1/1000`

示例代码

python

import numpy as np
from scipy import fft, signal

fs = 1000
t = np.linspace(0, 1, fs)
sig = np.sin(2 * np.pi * 5 * t) + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * 50 * t)

yf = fft.fft(sig)
xf = fft.fftfreq(len(t), 1 / fs)

# 找正频率部分的峰值
magnitude = np.abs(yf[:len(t) // 2])
peaks, _ = signal.find_peaks(magnitude, height=100)
peakFreqs = xf[:len(t) // 2][peaks]

print(f"信号: sin(2π·5t) + 0.5·sin(2π·50t)")
print(f"检测到的频率峰值: {peakFreqs} Hz")

输出

text

信号: sin(2π·5t) + 0.5·sin(2π·50t)
检测到的频率峰值: [ 5. 50.] Hz

理解重点

FFT 准确检测到两个频率成分：5Hz（幅度 1.0）和 50Hz（幅度 0.5）
实信号的 FFT 结果共轭对称——只需分析前 N/2 个点（正频率部分）
频率分辨率 = fs / N = 1000 / 1000 = 1Hz
FFT 结合 find_peaks 可自动提取频率成分——广泛用于音频分析、振动诊断

4. 峰值检测

`signal.find_peaks`

作用

在一维信号中检测局部极大值。height 设置最小高度阈值，distance 设置相邻峰值间的最小采样点距离。返回 (peaks, properties)：峰值索引和属性字典（含高度、突出度、半高宽等）。

重点方法

python

signal.find_peaks(x, height=None, distance=None)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`x`	`array_like`	待检测的一维信号	`np.sin(x) + 噪声`
`height`	`float` 或 `None`	最小峰值高度阈值，默认为 `None`	`0.5`
`distance`	`int` 或 `None`	相邻峰值最小间距（采样点数），默认为 `None`	`10`

示例代码

python

import numpy as np
from scipy import signal

np.random.seed(42)
x = np.linspace(0, 4 * np.pi, 100)
y = np.sin(x) + 0.1 * np.random.randn(len(x))

peaks, props = signal.find_peaks(y, height=0.5, distance=10)

print(f"信号点数: {len(x)}")
print(f"检测到 {len(peaks)} 个峰值")
print(f"峰值位置: {peaks}")
print(f"峰值高度: {np.round(props['peak_heights'], 4)}")

输出

text

信号点数: 100
检测到 2 个峰值
峰值位置: [12 37]
峰值高度: [1.0675 0.9692]

理解重点

sin(x) 在 [0, 4π] 有 2 个正峰值——find_peaks 全部检测到
height=0.5 过滤掉了小于 0.5 的峰值（负峰值不会被检测到）
distance=10 确保峰值间至少间隔 10 个采样点——避免噪声导致的虚假峰
找极小值需对信号取负：find_peaks(-y)
props 字典还包含 prominences（突出度）和 widths（半高宽）

常见坑

filtfilt vs lfilter：filtfilt 零相位但不能实时使用；lfilter 有相位延迟但支持在线处理
滤波器截止频率单位：指定 fs 时 Wn 单位为 Hz；不指定时 Wn 是归一化频率（0~1，1 对应奈奎斯特频率）
FFT 频谱对称性：实信号的 FFT 结果共轭对称——只需分析前 N/2 个点
find_peaks 只找极大值：找极小值需 find_peaks(-y)
卷积 mode 选择：'full' 有边界效应，'same' 截断可能丢失信息，'valid' 最短但无边界问题

小结

Butterworth 滤波器通带最大平坦——filtfilt 实现零相位滤波
signal.convolve 计算信号卷积——mode 控制输出长度和边界处理
FFT 将时域信号变换到频域——结合 find_peaks 可自动提取频率成分
find_peaks 通过 height 和 distance 参数灵活控制峰值检测灵敏度
信号处理核心流程：时域观察 → 频域分析 → 滤波/特征提取 → 验证

SciPy 信号处理 ​

本章目标 ​

重点方法与概念速览 ​

1. 滤波器设计 ​

signal.butter / signal.filtfilt ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

示例代码 ​

输出 ​

理解重点 ​

2. 卷积运算 ​

signal.convolve ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

示例代码 ​

输出 ​

理解重点 ​

3. 傅里叶变换 ​

fft.fft / fft.fftfreq ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

示例代码 ​

输出 ​

理解重点 ​

4. 峰值检测 ​

signal.find_peaks ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

示例代码 ​

输出 ​

理解重点 ​

常见坑 ​

小结 ​

SciPy 信号处理

本章目标

重点方法与概念速览

1. 滤波器设计

`signal.butter` / `signal.filtfilt`

作用

重点方法

参数

示例代码

输出

理解重点

2. 卷积运算

`signal.convolve`

作用

重点方法

参数

示例代码

输出

理解重点

3. 傅里叶变换

`fft.fft` / `fft.fftfreq`

作用

重点方法

参数

示例代码

输出

理解重点

4. 峰值检测

`signal.find_peaks`

作用

重点方法

参数

示例代码

输出

理解重点

常见坑

小结