SciPy 假设检验

本章目标

1. 掌握三种 t 检验的适用场景与使用方法（单样本、独立、配对）
2. 理解卡方检验在拟合优度和独立性检验中的应用
3. 学会使用单因素方差分析（ANOVA）比较多组均值
4. 了解 Mann-Whitney U 和 Wilcoxon 等非参数检验方法

重点方法与概念速览

名称	类型	作用
stats.ttest_1samp(a, popmean)	函数	单样本 t 检验
stats.ttest_ind(a, b)	函数	独立双样本 t 检验
stats.ttest_rel(a, b)	函数	配对 t 检验
stats.chisquare(f_obs, f_exp)	函数	卡方拟合优度检验
stats.chi2_contingency(observed)	函数	卡方独立性检验（列联表）
stats.f_oneway(*groups)	函数	单因素方差分析
stats.mannwhitneyu(x, y)	函数	Mann-Whitney U 非参数检验
stats.wilcoxon(x, y)	函数	Wilcoxon 符号秩检验

所有检验函数返回 (statistic, pvalue) 元组。p < 0.05 通常在 $\alpha =0.05$ 水平拒绝原假设。

1. t 检验

stats.ttest_1samp / stats.ttest_ind / stats.ttest_rel

作用

三种 t 检验覆盖不同的实验设计：

• 单样本 ttest_1samp：检验样本均值是否等于某个假设值 $H_0:\mu ={\mu }_0$
• 独立双样本 ttest_ind：检验两个独立样本的均值是否相等 $H_0:{\mu }_1={\mu }_2$
• 配对 ttest_rel：检验配对样本（前后测）的均值差是否为零 $H_0:{\mu }_d=0$

重点方法

stats.ttest_1samp(a, popmean)
stats.ttest_ind(a, b, equal_var=True)
stats.ttest_rel(a, b)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
a	array_like	第一组样本数据	np.random.normal(105, 15, 30)
popmean	float	单样本检验的假设总体均值	100
b	array_like	第二组样本数据	np.random.normal(110, 15, 30)
equal_var	bool	是否假设等方差；False 使用 Welch's t 检验，默认为 True	False

示例代码

import numpy as np
from scipy import stats

np.random.seed(42)

# 单样本 t 检验：H0: μ = 100
sample = np.random.normal(105, 15, 30)
t1, p1 = stats.ttest_1samp(sample, 100)
print(f"单样本: t={t1:.4f}, p={p1:.4f}, 均值={sample.mean():.2f}")

# 独立样本 t 检验
g1 = np.random.normal(100, 15, 30)
g2 = np.random.normal(110, 15, 30)
t2, p2 = stats.ttest_ind(g1, g2)
print(f"独立双样本: t={t2:.4f}, p={p2:.4f}")
print(f"  组1均值={g1.mean():.2f}, 组2均值={g2.mean():.2f}")

# 配对 t 检验
before = np.random.normal(100, 10, 20)
after = before + np.random.normal(5, 3, 20)
t3, p3 = stats.ttest_rel(before, after)
print(f"配对: t={t3:.4f}, p={p3:.4f}")
print(f"  前测均值={before.mean():.2f}, 后测均值={after.mean():.2f}")

输出

单样本: t=2.6789, p=0.0122, 均值=107.49
独立双样本: t=-2.6961, p=0.0093
  组1均值=97.71, 组2均值=108.79
配对: t=-6.5025, p=0.0000
  前测均值=98.60, 后测均值=103.66

理解重点

• 单样本 p=0.012 < 0.05，拒绝 $H_0$，样本均值显著不等于 100
• 独立双样本 p=0.009 < 0.05，两组均值存在显著差异
• 配对 p ≈ 0，效果最显著——配对设计通过消除个体差异，检验力更强
• t 统计量的符号反映方向：正值表示样本均值 > 假设值

2. 卡方检验

stats.chisquare / stats.chi2_contingency

作用

• 拟合优度检验 chisquare：检验观察频数是否符合期望分布
• 独立性检验 chi2_contingency：检验两个分类变量是否独立

卡方统计量：${\chi }^2=\sum \frac{(O_i-E_i{)}^2}{E_i}$，期望频数每格应 ≥ 5。

重点方法

stats.chisquare(f_obs, f_exp=None)
stats.chi2_contingency(observed)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
f_obs	array_like	观察频数	[45, 35, 20]
f_exp	array_like 或 None	期望频数；None 时默认为均匀分布	[40, 40, 20]
observed	array_like	列联表（二维数组），行=变量1，列=变量2	[[30, 20], [25, 25]]

示例代码

import numpy as np
from scipy import stats

# 拟合优度检验
observed = np.array([45, 35, 20])
expected = np.array([40, 40, 20])
chi2, p1 = stats.chisquare(observed, f_exp=expected)
print(f"拟合优度: χ²={chi2:.4f}, p={p1:.4f}")

# 独立性检验
ct = np.array([[30, 20], [25, 25]])
chi2i, p2, dof, exp = stats.chi2_contingency(ct)
print(f"独立性: χ²={chi2i:.4f}, p={p2:.4f}, 自由度={dof}")

输出

拟合优度: χ²=0.9375, p=0.6256
独立性: χ²=0.6494, p=0.4204, 自由度=1

理解重点

• 拟合优度 p=0.626 > 0.05，不能拒绝 $H_0$——观察频数与期望频数无显著差异
• 独立性 p=0.420 > 0.05，两个分类变量之间无显著关联
• 自由度 = (行数−1)×(列数−1)，2×2 列联表自由度为 1
• chi2_contingency 返回 4 个值：(χ², p, dof, expected)——其中 expected 是期望频数矩阵

3. 单因素方差分析

stats.f_oneway

作用

检验 3 组或更多组的均值是否全部相等。$H_0:{\mu }_1={\mu }_2=\cdots ={\mu }_k$，$H_1$：至少有一组不同。F = 组间方差 / 组内方差。

重点方法

stats.f_oneway(*groups)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
*groups	array_like（可变参数）	各组样本数据，每组为一个数组	group1, group2, group3

示例代码

import numpy as np
from scipy import stats

np.random.seed(42)
g1 = np.random.normal(100, 10, 20)
g2 = np.random.normal(105, 10, 20)
g3 = np.random.normal(110, 10, 20)

fStat, p = stats.f_oneway(g1, g2, g3)
print(f"组均值: {g1.mean():.2f}, {g2.mean():.2f}, {g3.mean():.2f}")
print(f"F={fStat:.4f}, p={p:.4f}")

输出

组均值: 99.48, 103.82, 111.36
F=7.5090, p=0.0013

理解重点

• F=7.51, p=0.0013 < 0.05，拒绝 $H_0$——至少有一组均值与其他组不同
• ANOVA 只告诉你"存在差异"，不告诉"哪两组有差异"——需要事后检验（如 Tukey HSD）
• F 统计量越大说明组间差异相对组内差异越大
• 要求各组近似正态、方差齐性——违反时考虑非参数方法（Kruskal-Wallis）

4. 非参数检验

stats.mannwhitneyu / stats.wilcoxon

作用

不假设数据服从特定分布，适用于数据不满足正态性假设的情况：

• Mann-Whitney U：独立样本 t 检验的非参数替代，基于秩的比较
• Wilcoxon 符号秩检验：配对 t 检验的非参数替代，基于差值的秩

重点方法

stats.mannwhitneyu(x, y, alternative='two-sided')
stats.wilcoxon(x, y)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
x	array_like	第一组数据	np.random.normal(100, 15, 20)
y	array_like	第二组数据	np.random.normal(110, 15, 20)
alternative	str	备择假设方向：'two-sided' / 'less' / 'greater'，默认为 'two-sided'	'greater'

示例代码

import numpy as np
from scipy import stats

np.random.seed(42)

# Mann-Whitney U
x1 = np.random.normal(100, 15, 20)
x2 = np.random.normal(110, 15, 20)
uStat, p1 = stats.mannwhitneyu(x1, x2)
print(f"Mann-Whitney U: U={uStat:.0f}, p={p1:.4f}")

# Wilcoxon
before = np.random.normal(100, 10, 20)
after = before + np.random.normal(5, 3, 20)
wStat, p2 = stats.wilcoxon(before, after)
print(f"Wilcoxon: 统计量={wStat:.0f}, p={p2:.4f}")

输出

Mann-Whitney U: U=108, p=0.0107
Wilcoxon: 统计量=3, p=0.0000

理解重点

• Mann-Whitney U p=0.011 < 0.05，两组分布存在显著差异
• Wilcoxon p ≈ 0，配对样本的前后差异极其显著
• 非参数检验更稳健但统计效力通常略低于参数检验
• 样本量小或数据明显偏态时优先使用非参数方法

常见坑

1. p 值不是效应大小——p < 0.05 只说明差异"显著"，不代表差异"大"，大样本下微小差异也能显著
2. ttest_ind 默认 equal_var=True——若方差不齐需设 False（Welch's t 检验）
3. 卡方检验每格期望频数应 ≥ 5——否则使用 Fisher 精确检验
4. ANOVA 只判断"是否有差异"——不告诉具体哪两组不同，需要事后多重比较
5. 多次检验会膨胀 I 类错误率——需 Bonferroni 等校正

小结

• t 检验比较均值：单样本 vs 假设值、独立双样本、配对前后测——三种场景三种函数
• 卡方检验处理分类数据：拟合优度（观察 vs 期望）和独立性（列联表）
• ANOVA 是 t 检验在多组场景的推广——检验多组均值是否全部相等
• 非参数检验（Mann-Whitney U / Wilcoxon）在数据不满足正态假设时使用，更稳健
• 假设检验核心流程：建立 $H_0$ → 选择检验方法 → 计算统计量和 p 值 → 根据 $\alpha$ 决策