SciPy 概览

本章目标

了解 SciPy 的整体模块结构与各子模块的功能定位
掌握 scipy.constants 中物理常数与单位换算的使用
掌握 scipy.special 中常用特殊函数（阶乘、组合数、伽马、贝塞尔）
会查询 SciPy 与 NumPy 的版本信息

重点方法与概念速览

名称	类型	作用
`scipy.constants.pi` / `.c` / `.h` / `.k` / `.N_A` / `.e`	常量	数学与物理常数
`scipy.constants.mile` / `.inch` / `.pound`	常量	单位换算因子
`special.factorial(...)`	函数	阶乘 $n!$
`special.comb(...)`	函数	组合数 $C (n, k)$
`special.perm(...)`	函数	排列数 $P (n, k)$
`special.gamma(...)`	函数	伽马函数 $Γ (z)$
`special.jv(...)`	函数	第一类贝塞尔函数 $J_{v} (x)$
`scipy.__version__`	属性	SciPy 版本号

1. SciPy 模块总览

SciPy 不是单一模块，而是子模块集合——按需导入，各子模块相对独立：

子模块	功能定位	对应章节
`scipy.constants`	数学/物理常数、单位换算	ch01（本章）
`scipy.special`	特殊数学函数（伽马、贝塞尔等）	ch01（本章）
`scipy.stats`	概率分布、描述统计、假设检验	ch02、ch03
`scipy.optimize`	曲线拟合、求根、最优化、线性规划	ch04
`scipy.interpolate`	一维/多维插值、样条、RBF	ch05
`scipy.integrate`	数值积分、常微分方程	ch06
`scipy.linalg`	线性代数（LU/QR/SVD/特征值）	ch07
`scipy.signal`	信号处理（滤波、卷积、FFT）	ch08
`scipy.sparse`	稀疏矩阵（CSR/CSC/COO）	ch09
`scipy.spatial`	空间数据（KDTree/凸包/Voronoi）	ch10

理解重点

导入子模块而非顶层：from scipy import optimize，不要 import scipy; scipy.optimize.minimize(...)
scipy.linalg 比 numpy.linalg 更全面，部分函数效率更高
各子模块依赖 NumPy 但不互相依赖——只学需要的部分即可

2. 物理常数与单位换算

`scipy.constants` — 物理常数

作用

提供 CODATA 标准物理常数和数学常数。所有常数都是标量浮点数，可直接参与 NumPy 运算。

常用物理常数

名称	含义	数值（SI 单位）
`constants.pi`	圆周率 $π$	`3.141592653589793`
`constants.c`	真空光速	`299792458.0` m/s
`constants.h`	普朗克常数	`6.62607015e-34` J·s
`constants.hbar`	约化普朗克常数 $ℏ$	`h / (2\pi)`
`constants.k`	玻尔兹曼常数	`1.380649e-23` J/K
`constants.N_A`	阿伏伽德罗常数	`6.02214076e+23`
`constants.G`	引力常数	`6.67430e-11`
`constants.g`	重力加速度	`9.80665` m/s²
`constants.e`	基本电荷（非欧拉数！）	`1.602176634e-19` C
`constants.R`	理想气体常数	`8.31446261815324`

`scipy.constants` — 单位换算

常用单位→SI 换算因子

名称	含义	换算值
`constants.mile`	英里 → 米	`1609.344`
`constants.inch`	英寸 → 米	`0.0254`
`constants.foot`	英尺 → 米	`0.3048`
`constants.pound`	磅 → 千克	`0.45359237`
`constants.minute`	分钟 → 秒	`60.0`
`constants.hour`	小时 → 秒	`3600.0`
`constants.degree`	度 → 弧度	$π / 180$

综合示例

示例代码

python

from scipy import constants

print(f"π = {constants.pi}")
print(f"光速 c = {constants.c} m/s")
print(f"普朗克 h = {constants.h} J·s")
print(f"玻尔兹曼 k = {constants.k} J/K")
print(f"阿伏伽德罗 N_A = {constants.N_A}")

print(f"\n1 英里 = {constants.mile} 米")
print(f"1 英寸 = {constants.inch} 米")
print(f"1 磅 = {constants.pound} 千克")

# 搜索与查找
print(f"\n查找 Planck 相关常数:")
for key in constants.find("Planck"):
    print(f"  {key}: {constants.value(key)}")

输出

text

π = 3.141592653589793
光速 c = 299792458.0 m/s
普朗克 h = 6.62607015e-34 J·s
玻尔兹曼 k = 1.380649e-23 J/K
阿伏伽德罗 N_A = 6.02214076e+23

1 英里 = 1609.344 米
1 英寸 = 0.0254 米
1 磅 = 0.45359237 千克

查找 Planck 相关常数:
  Planck length: 1.616255e-35
  Planck mass: 2.176434e-08
  Planck temperature: 1.416784e+32
  Planck time: 5.391247e-44

理解重点

全部常数按 SI 单位制给出——物理计算可直接相乘除
constants.find('planck') 搜索相关常数；constants.value('speed of light in vacuum') 按 CODATA 标准名查找
constants.e 是基本电荷，不是欧拉数！ 欧拉数用 math.e 或 numpy.e

3. 特殊函数

`special.factorial`

作用

计算阶乘 $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ 。exact=True 返回 Python 整数精确值，默认返回浮点数（大 n 会溢出）。

重点方法

python

special.factorial(n, exact=False)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`n`	`int`、`array_like`	非负整数	`5`、`[1, 2, 3]`
`exact`	`bool`	`True` 返回精确整数，`False` 返回浮点数，默认为 `False`	`True`

`special.comb`

作用

计算组合数 $C (N, k) = (\binom{N}{k}) = \frac{N!}{k! (N - k)!}$ 。支持 exact=True 精确整数和 repetition=True 允许重复选择。

重点方法

python

special.comb(N, k, exact=False, repetition=False)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`N`	`int`、`array_like`	总元素数	`10`
`k`	`int`、`array_like`	选取数	`3`
`exact`	`bool`	`True` 返回精确整数，默认为 `False`	`True`
`repetition`	`bool`	`True` 允许重复选择（ $C (N + k - 1, k)$ ），默认为 `False`	`True`

`special.perm`

作用

计算排列数 $P (N, k) = \frac{N!}{(N - k)!}$ 。

重点方法

python

special.perm(N, k, exact=False)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`N`	`int`、`array_like`	总元素数	`10`
`k`	`int`、`array_like`	选取数	`3`
`exact`	`bool`	`True` 返回精确整数，默认为 `False`	`True`

`special.gamma`

作用

计算伽马函数 $Γ (z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} d t$ 。对正整数 $n$ 有 $Γ (n) = (n - 1)!$ 。支持复数输入。

重点方法

python

special.gamma(z)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`z`	`array_like`	实数或复数输入	`5`、`0.5`、`[1, 2, 3]`

`special.jv`

作用

计算第一类贝塞尔函数 $J_{v} (x)$ ，是贝塞尔微分方程的正则解。 $v$ 为阶数， $x$ 为自变量（可为复数）。

重点方法

python

special.jv(v, x)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`v`	`array_like`	贝塞尔函数的阶数（可为浮点）	`0`、`1.5`
`x`	`array_like`	自变量（实数或复数）	`1.0`、`[0, 1, 2]`

其他常用特殊函数速览

函数	含义	示例
`special.gammaln(z)`	$\ln Γ (z)$ ，避免溢出	`special.gammaln(1000)`
`special.beta(a, b)`	贝塔函数 $B (a, b)$	`special.beta(2, 3)`
`special.yv(v, x)`	第二类贝塞尔函数 $Y_{v} (x)$	`special.yv(0, 1)`
`special.erf(x)`	误差函数 $\erf (x)$	`special.erf(1)`
`special.expit(x)`	sigmoid 函数 $\frac{1}{1 + e^{- x}}$	`special.expit(0)`
`special.logit(x)`	sigmoid 的逆函数	`special.logit(0.5)`
`special.softmax(x)`	softmax 激活，数值稳定	`special.softmax([1, 2, 3])`

综合示例

示例代码

python

from scipy import special
import math

# 阶乘与组合数
print(f"5! = {special.factorial(5)}")
print(f"5! (精确) = {special.factorial(5, exact=True)}")
print(f"C(10, 3) = {special.comb(10, 3)}")
print(f"P(10, 3) = {special.perm(10, 3)}")

# 伽马函数
print(f"\nΓ(5) (=4!) = {special.gamma(5)}")
print(f"Γ(0.5) (=√π) = {special.gamma(0.5)}")
print(f"对比 √π = {math.sqrt(math.pi)}")

# 贝塞尔函数
print(f"\nJ_0(1) = {special.jv(0, 1):.6f}")
print(f"J_1(1) = {special.jv(1, 1):.6f}")

# 机器学习常用
print(f"\nexpit(0) = {special.expit(0)}")
print(f"softmax([1,2,3]) = {special.softmax([1, 2, 3])}")
print(f"logit(0.5) = {special.logit(0.5)}")

输出

text

5! = 120.0
5! (精确) = 120
C(10, 3) = 120.0
P(10, 3) = 720.0

Γ(5) (=4!) = 24.0
Γ(0.5) (=√π) = 1.7724538509055159
对比 √π = 1.7724538509055159

J_0(1) = 0.765198
J_1(1) = 0.440051

expit(0) = 0.5
softmax([1,2,3]) = [0.09003057 0.24472847 0.66524096]
logit(0.5) = 0.0

理解重点

factorial(n, exact=True) 返回整数精确值——大 n 用 gammaln(n+1) 避免溢出
special.expit 是 sigmoid 的数值稳定实现，special.softmax 自动处理 overflow——机器学习中优先使用
贝塞尔函数 $J_{v} (x)$ 和 $Y_{v} (x)$ 是振动问题的标准解—— $v$ 可为非整数

4. 版本查询

`scipy.version`

作用

SciPy 版本号字符串。配合 numpy.__version__ 做环境诊断。

示例代码

python

import scipy
import numpy as np

print(f"SciPy 版本: {scipy.__version__}")
print(f"NumPy 版本: {np.__version__}")

输出

text

SciPy 版本: 1.11.4
NumPy 版本: 1.26.2

理解重点

SciPy 与 NumPy 有版本兼容矩阵——升级前查官方说明
版本号遵循 major.minor.patch 语义

常见坑

不要写 import scipy 然后 scipy.optimize.minimize(...)——旧版顶层不自动导入子模块，需 from scipy import optimize
scipy.constants.e 是基本电荷（ $1.6 \times 10^{- 19}$ C），不是欧拉数——欧拉数用 math.e 或 numpy.e
special.factorial(n) 对大 n 会溢出（exact=False 时）——改用 gammaln(n+1) 取对数
special.comb(N, k) 同理——大数用 exact=True 或 gammaln
exact=True 返回 Python int 而非 NumPy 数组——批量计算时注意类型不一致

小结

SciPy 是建立在 NumPy 之上的科学计算生态，按子模块组织——按需导入
常数（constants）+ 特殊函数（special）是最轻量的入口——物理计算和组合数学的基础
后续章节逐一深入核心子模块：统计、优化、插值、积分、线代、信号、稀疏、空间

SciPy 概览 ​

本章目标 ​

重点方法与概念速览 ​

1. SciPy 模块总览 ​

理解重点 ​

2. 物理常数与单位换算 ​

scipy.constants — 物理常数 ​

作用 ​

常用物理常数 ​

scipy.constants — 单位换算 ​

常用单位→SI 换算因子 ​

综合示例 ​

示例代码 ​

输出 ​

理解重点 ​

3. 特殊函数 ​

special.factorial ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

special.comb ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

special.perm ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

special.gamma ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

special.jv ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

其他常用特殊函数速览 ​

综合示例 ​

示例代码 ​

输出 ​

理解重点 ​

4. 版本查询 ​

scipy.__version__ ​

作用 ​

示例代码 ​

输出 ​

理解重点 ​

常见坑 ​

小结 ​

SciPy 概览

本章目标

重点方法与概念速览

1. SciPy 模块总览

理解重点

2. 物理常数与单位换算

`scipy.constants` — 物理常数

作用

常用物理常数

`scipy.constants` — 单位换算

常用单位→SI 换算因子

综合示例

示例代码

输出

理解重点

3. 特殊函数

`special.factorial`

作用

重点方法

参数

`special.comb`

作用

重点方法

参数

`special.perm`

作用

重点方法

参数

`special.gamma`

作用

重点方法

参数

`special.jv`

作用

重点方法

参数

其他常用特殊函数速览

综合示例

示例代码

输出

理解重点

4. 版本查询

`scipy.version`

作用

示例代码

输出

理解重点

常见坑

小结