NumPy 线性代数

本章目标

掌握向量点积与矩阵乘法（dot / matmul / @）的区别与使用场景
掌握转置、行列式、逆矩阵的基本用法
会求方阵的特征值与特征向量
会用 np.linalg.solve 解线性方程组 $A x = b$
掌握 np.linalg.norm 计算常见向量与矩阵范数

重点方法与概念速览

名称	类型	作用
`np.dot(...)`	函数	点积 / 矩阵乘法（兼容多维）
`np.matmul(...)` / `@`	函数 / 运算符	矩阵乘法（高维批量）
`arr.T`	属性	转置视图（反转所有维度）
`np.transpose(...)`	函数	转置，可指定轴顺序
`np.linalg.det(...)`	函数	方阵行列式
`np.linalg.inv(...)`	函数	方阵逆矩阵
`np.linalg.eig(...)`	函数	特征值与特征向量
`np.linalg.solve(...)`	函数	解线性方程组 $A x = b$
`np.linalg.norm(...)`	函数	向量 / 矩阵范数
`np.allclose(...)`	函数	浮点容差比较

1. 点积与矩阵乘法

`np.dot`

作用

向量点积或矩阵乘法，行为随输入维度变化：

两个一维向量 → 点积 $a \cdot b = \sum a_{i} b_{i}$ ，返回标量
两个二维矩阵 → 矩阵乘法 $C_{i k} = \sum_{j} A_{i j} B_{j k}$
高维数组 → 沿最后两轴做矩阵乘法

重点方法

python

np.dot(a, b, out=None)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`a`	`array_like`	第一个输入	`[1, 2, 3]`、`A(2x2)`
`b`	`array_like`	第二个输入，形状需与 `a` 在相应轴上匹配	`[4, 5, 6]`、`B(2x2)`
`out`	`ndarray` 或 `None`	写入结果的目标数组	——

`np.matmul` / `@`

作用

专用的矩阵乘法，@ 是运算符写法。与 dot 的差异：

不支持标量乘法
高维时视为"批量矩阵乘法"：最后两轴是矩阵维度，前轴做广播

重点方法

python

np.matmul(x1, x2, /, out=None, *, casting='same_kind', order='K', dtype=None)
# 等价运算符
A @ B

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`x1`	`array_like`	左矩阵	`A(2x2)`
`x2`	`array_like`	右矩阵，列数需与 `x1` 行数匹配	`B(2x2)`
`out`	`ndarray` 或 `None`	目标数组	——
`casting`	`str`	类型转换策略，默认为 `'same_kind'`	`'safe'`
`dtype`	`dtype` 或 `None`	结果类型	——

综合示例

示例代码

python

import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
print(f"向量点积 np.dot(a, b) = {np.dot(a, b)}")

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
print(f"A @ B:\n{A @ B}")
print(f"np.dot(A, B):\n{np.dot(A, B)}")

输出

text

向量点积 np.dot(a, b) = 32
A @ B:
[[19 22]
 [43 50]]
np.dot(A, B):
[[19 22]
 [43 50]]

理解重点

现代代码优先用 @（可读性高、仅限矩阵乘法）
需要向量点积或对标量操作时用 np.dot
三维以上批量矩阵乘用 matmul / @，不要用 dot

2. 转置

`arr.T`

作用

返回数组的转置视图，所有维度顺序反转。对二维数组即常规"行列交换"。

返回内容

类型	含义
`ndarray`	转置视图，修改会影响原数组

`np.transpose`

作用

比 arr.T 更灵活，可通过 axes 参数指定任意的轴排列顺序。

重点方法

python

np.transpose(a, axes=None)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`a`	`array_like`	输入数组	`A(2x3)`
`axes`	`tuple[int, ...]` 或 `None`	新轴顺序，默认为 `None`（反转所有维度）	`(1, 0)`、`(1, 0, 2)`

示例代码

python

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(f"A (2x3):\n{A}")
print(f"A.T (3x2):\n{A.T}")
print(f"np.transpose(A):\n{np.transpose(A)}")

输出

text

A (2x3):
[[1 2 3]
 [4 5 6]]
A.T (3x2):
[[1 4]
 [2 5]
 [3 6]]
np.transpose(A):
[[1 4]
 [2 5]
 [3 6]]

3. 行列式与逆矩阵

`np.linalg.det`

作用

计算方阵的行列式。行列式为 $0$ 表示矩阵奇异（不可逆）。公式（以 $2 \times 2$ 为例）：

det (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = a d - b c

重点方法

python

np.linalg.det(a)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`a`	`array_like`	方阵，至少二维；高维时对最后两轴批量计算	`[[4, 7], [2, 6]]`

`np.linalg.inv`

作用

计算方阵的逆矩阵 $A^{- 1}$ ，满足 $A A^{- 1} = I$ 。对奇异或接近奇异的矩阵数值不稳定，应改用 solve。

重点方法

python

np.linalg.inv(a)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`a`	`array_like`	方阵；行列式为 $0$ 时抛 `LinAlgError`	`[[4, 7], [2, 6]]`

`np.allclose`

作用

判断两个数组在给定容差内是否近似相等。浮点数不应直接 == 比较，应用 allclose。判断条件：

| a - b | \leq atol + rtol \cdot | b |

重点方法

python

np.allclose(a, b, rtol=1e-05, atol=1e-08, equal_nan=False)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`a`	`array_like`	待比较的数组 1	`A @ A_inv`
`b`	`array_like`	待比较的数组 2	`np.eye(2)`
`rtol`	`float`	相对容差，默认为 `1e-05`	`1e-10`
`atol`	`float`	绝对容差，默认为 `1e-08`	`1e-12`
`equal_nan`	`bool`	`True` 时将两个 `NaN` 视为相等，默认为 `False`	`True`

综合示例

示例代码

python

import numpy as np

A = np.array([[4, 7], [2, 6]])
det = np.linalg.det(A)
AInv = np.linalg.inv(A)

print(f"det(A) = {det:.4f}")
print(f"A^-1:\n{AInv}")
print(f"A @ A^-1:\n{(A @ AInv).round(10)}")
print(f"是否单位矩阵: {np.allclose(A @ AInv, np.eye(2))}")

输出

text

det(A) = 10.0000
A^-1:
[[ 0.6 -0.7]
 [-0.2  0.4]]
A @ A^-1:
[[ 1.  0.]
 [-0.  1.]]
是否单位矩阵: True

4. 特征值与特征向量

`np.linalg.eig`

作用

计算方阵 $A$ 的特征值与特征向量，满足：

A v = λ v

返回二元组 (eigenvalues, eigenvectors)。

重点方法

python

np.linalg.eig(a)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`a`	`array_like`	输入方阵	`[[4, 2], [1, 3]]`

返回值

返回值	类型	含义
`eigenvalues`	`ndarray`	一维数组，长度等于方阵阶数
`eigenvectors`	`ndarray`	二维数组，第 `i` 列是 `eigenvalues[i]` 对应的特征向量

示例代码

python

import numpy as np

A = np.array([[4, 2], [1, 3]])
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

print(f"特征值: {eigenvalues}")
print(f"特征向量:\n{eigenvectors}")

# 验证 A @ v = λ @ v
for i in range(len(eigenvalues)):
    v = eigenvectors[:, i]
    lam = eigenvalues[i]
    print(f"λ={lam:.2f}: A@v = {A @ v}, λ*v = {lam * v}, "
          f"相等={np.allclose(A @ v, lam * v)}")

输出

text

特征值: [5. 2.]
特征向量:
[[ 0.89442719 -0.70710678]
 [ 0.4472136   0.70710678]]
λ=5.00: A@v = [4.47213595 2.23606798], λ*v = [4.47213595 2.23606798], 相等=True
λ=2.00: A@v = [-1.41421356  1.41421356], λ*v = [-1.41421356  1.41421356], 相等=True

理解重点

特征向量按列存放，切片用 eigvecs[:, i]，不是 eigvecs[i]
特征值可能为复数（即使输入全为实数），返回类型可能为 complex128
对称矩阵用 np.linalg.eigh 得到更稳定的实值结果

5. 解线性方程组

`np.linalg.solve`

作用

解线性方程组 $A x = b$ 。比 $inv (A) @ b$ 更快更稳定，应始终作为首选。本质是通过 LU 分解等数值方法直接求解，避免显式计算逆矩阵。

重点方法

python

np.linalg.solve(a, b)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`a`	`array_like`	系数方阵，必须可逆	`[[2, 1], [1, 3]]`
`b`	`array_like`	右端向量（或多个右端组成的矩阵）	`[5, 7]`

示例代码

python

import numpy as np

# 方程组:
#   2x + y = 5
#   x + 3y = 7
A = np.array([[2, 1], [1, 3]])
b = np.array([5, 7])

x = np.linalg.solve(A, b)
print(f"解 x = {x}")
print(f"验证 A @ x = {A @ x}")
print(f"是否等于 b: {np.allclose(A @ x, b)}")

输出

text

解 x = [1.6 1.8]
验证 A @ x = [5. 7.]
是否等于 b: True

理解重点

永远优先 solve，而不是 inv(A) @ b——前者更快且数值更稳定
非方阵或超定 / 欠定系统用最小二乘 np.linalg.lstsq

6. 范数

`np.linalg.norm`

作用

计算向量或矩阵的范数。通过 ord 参数选择不同范数类型。

向量 L2 范数（欧几里得距离）： $∥ v ∥_{2} = \sqrt{\sum | v_{i} |^{2}}$
向量 L1 范数（曼哈顿距离）： $∥ v ∥_{1} = \sum | v_{i} |$
矩阵 Frobenius 范数： $∥ A ∥_{F} = \sqrt{\sum_{i, j} | a_{i j} |^{2}}$

重点方法

python

np.linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`x`	`array_like`	向量或矩阵输入	`[3, 4]`、`A(2x2)`
`ord`	`int` 或 `str` 或 `None`	范数阶数，默认为 `None`（见下表）	`1`、`2`、`np.inf`
`axis`	`int` 或 `None`	指定按轴计算范数，默认为 `None`（整体计算）	`0`
`keepdims`	`bool`	是否保留被聚合的轴，默认为 `False`	`True`

`ord` 常见取值

`ord`	向量含义	矩阵含义（二维输入）
`None`（默认）	L2 范数 $\sqrt{\sum x_{i}^{2}}$	Frobenius 范数
`1`	L1 范数 $\sum \| x_{i} \|$	列绝对值和的最大值
`2`	L2 范数（同 `None`）	最大奇异值（谱范数）
`np.inf`	最大绝对值 $max \| x_{i} \|$	行绝对值和的最大值
`-np.inf`	最小绝对值 $min \| x_{i} \|$	行绝对值和的最小值
`'fro'`	—	Frobenius 范数

示例代码

python

import numpy as np

v = np.array([3, 4])
print(f"L1 范数 (曼哈顿距离): {np.linalg.norm(v, ord=1)}")
print(f"L2 范数 (欧几里得距离): {np.linalg.norm(v, ord=2)}")
print(f"无穷范数: {np.linalg.norm(v, ord=np.inf)}")

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
print(f"Frobenius 范数: {np.linalg.norm(A):.4f}")

输出

text

L1 范数 (曼哈顿距离): 7.0
L2 范数 (欧几里得距离): 5.0
无穷范数: 4.0
Frobenius 范数: 5.4772

理解重点

向量 $[3, 4]$ 的 L2 范数为 $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$
矩阵默认范数是 Frobenius，等于把矩阵展平为向量后的 L2 范数

常见坑

只有方阵才能直接 inv / det / eig——非方阵考虑 SVD 或伪逆 np.linalg.pinv
奇异或接近奇异的矩阵求逆数值不稳定，条件数大时结果误差大
解线性方程组永远用 np.linalg.solve，不要写 np.linalg.inv(A) @ b
比较浮点结果用 np.allclose，不要直接用 ==
@ 和 np.dot 在高维数组上的广播语义不同：批量矩阵乘用 @ / matmul
np.linalg.eig 的特征向量按列存放，切片写成 eigvecs[i] 是错误

小结

本章是机器学习线代工具箱的基础：solve、eig、norm 出现频率最高
理解维度匹配规则（ $m \times k$ @ $k \times n \to m \times n$ ）是避免维度错误的关键
浮点比较用 allclose，求逆用 solve——这两点能避开 90% 的初学者陷阱

NumPy 线性代数 ​

本章目标 ​

重点方法与概念速览 ​

1. 点积与矩阵乘法 ​

np.dot ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

np.matmul / @ ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

综合示例 ​

示例代码 ​

输出 ​

理解重点 ​

2. 转置 ​

arr.T ​

作用 ​

返回内容 ​

np.transpose ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

示例代码 ​

输出 ​

3. 行列式与逆矩阵 ​

np.linalg.det ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

np.linalg.inv ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

np.allclose ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

综合示例 ​

示例代码 ​

输出 ​

4. 特征值与特征向量 ​

np.linalg.eig ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

返回值 ​

示例代码 ​

输出 ​

理解重点 ​

5. 解线性方程组 ​

np.linalg.solve ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

示例代码 ​

输出 ​

理解重点 ​

6. 范数 ​

np.linalg.norm ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

ord 常见取值 ​

示例代码 ​

输出 ​

理解重点 ​

常见坑 ​

小结 ​

NumPy 线性代数

本章目标

重点方法与概念速览

1. 点积与矩阵乘法

`np.dot`

作用

重点方法

参数

`np.matmul` / `@`

作用

重点方法

参数

综合示例

示例代码

输出

理解重点

2. 转置

`arr.T`

作用

返回内容

`np.transpose`

作用

重点方法

参数

示例代码

输出

3. 行列式与逆矩阵

`np.linalg.det`

作用

重点方法

参数

`np.linalg.inv`

作用

重点方法

参数

`np.allclose`

作用

重点方法

参数

综合示例

示例代码

输出

4. 特征值与特征向量

`np.linalg.eig`

作用

重点方法

参数

返回值

示例代码

输出

理解重点

5. 解线性方程组

`np.linalg.solve`

作用

重点方法

参数

示例代码

输出

理解重点

6. 范数

`np.linalg.norm`

作用

重点方法

参数

`ord` 常见取值

示例代码

输出

理解重点

常见坑

小结