SciPy 统计

本章目标

掌握 scipy.stats 中常见概率分布的创建与使用（正态、二项、泊松）
理解分布对象的统一接口：.pdf / .cdf / .ppf / .rvs
掌握描述性统计函数（变异系数、偏度、峰度、众数）
理解百分位数与四分位距的计算方法

重点方法与概念速览

名称	类型	作用
`stats.norm(loc, scale)`	构造器	创建正态分布对象
`stats.binom(n, p)`	构造器	创建二项分布对象
`stats.poisson(mu)`	构造器	创建泊松分布对象
`dist.pdf(x)` / `dist.pmf(k)`	方法	概率密度/质量函数
`dist.cdf(x)` / `dist.ppf(q)`	方法	累积分布/分位数函数
`dist.rvs(size)`	方法	生成随机样本
`stats.variation(a)`	函数	变异系数 CV = $σ / μ$
`stats.skew(a)`	函数	偏度
`stats.kurtosis(a)`	函数	峰度（Fisher 定义）
`stats.mode(a)`	函数	众数
`stats.norm.fit(data)`	函数	最大似然估计拟合正态分布参数

1. 概率分布对象

SciPy 的 stats 模块提供 100+ 种概率分布，每种都是"冻结分布"对象。创建时固定参数，随后通过统一接口（.pdf / .cdf / .ppf / .rvs）操作。

`stats.norm`

作用

创建正态（高斯）分布对象。概率密度函数：

f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} \exp (- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}})

重点方法

python

stats.norm(loc=0, scale=1)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`loc`	`float`	均值 $μ$ ，默认为 `0`	`100`
`scale`	`float`	标准差 $σ$ ，默认为 `1`	`15`

`stats.binom`

作用

创建二项分布对象。 $n$ 次独立 Bernoulli 试验中成功次数的分布。概率质量函数：

P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}

重点方法

python

stats.binom(n, p)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`n`	`int`	试验次数	`10`
`p`	`float`	每次试验的成功概率	`0.5`

`stats.poisson`

作用

创建泊松分布对象。描述单位时间内随机事件发生次数的分布。概率质量函数：

P (X = k) = \frac{λ^{k} e^{- λ}}{k!}

重点方法

python

stats.poisson(mu)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`mu`	`float`	期望值 $λ$	`3`

分布对象的统一接口

创建分布后，以下方法对所有分布统一可用：

方法	类型	含义
`dist.pdf(x)`	连续	概率密度函数 $f (x)$
`dist.pmf(k)`	离散	概率质量函数 $P (X = k)$
`dist.cdf(x)`	全部	累积分布 $P (X \leq x)$
`dist.ppf(q)`	全部	分位数函数（CDF 逆函数）
`dist.rvs(size)`	全部	生成随机样本
`dist.mean()`	全部	理论均值
`dist.var()`	全部	理论方差

综合示例

示例代码

python

from scipy import stats

# 正态分布
norm = stats.norm(loc=0, scale=1)
print(f"pdf(0): {norm.pdf(0):.4f}")
print(f"cdf(0): {norm.cdf(0):.4f}")
print(f"ppf(0.95): {norm.ppf(0.95):.4f}")
print(f"rvs(5): {norm.rvs(size=5)}")

# 二项分布
binom = stats.binom(n=10, p=0.5)
print(f"\npmf(5): {binom.pmf(5):.4f}")
print(f"cdf(5): {binom.cdf(5):.4f}")
print(f"mean: {binom.mean()}, var: {binom.var()}")

# 泊松分布
poisson = stats.poisson(mu=3)
print(f"\npmf(3): {poisson.pmf(3):.4f}")
print(f"mean: {poisson.mean()}")

输出

text

pdf(0): 0.3989
cdf(0): 0.5000
ppf(0.95): 1.6449
rvs(5): [ 0.4967 -0.1383  0.6477  1.5230 -0.2342]

pmf(5): 0.2461
cdf(5): 0.6230
mean: 5.0, var: 2.5

pmf(3): 0.2240
mean: 3.0

理解重点

`norm.pdf(0) = 0.3989 = 1/\sqrt{2\pi}$——标准正态在均值处的密度值
norm.ppf(0.95) = 1.6449 是 95% 单侧置信区间的常用分位数
二项分布 $B (10, 0.5)$ 的期望值 = $n p = 5$ ，方差 = $n p (1 - p) = 2.5$
泊松分布的期望值和方差都等于 $λ$
连续分布用 .pdf()，离散分布用 .pmf()——不可混用

2. 描述性统计

`stats.variation`

作用

计算变异系数 $C V = σ / μ$ ，消除量纲影响后比较不同数据集的离散程度。

重点方法

python

stats.variation(a)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`a`	`array_like`	输入数据	`np.random.normal(100, 15, 100)`

`stats.skew`

作用

计算偏度——衡量分布的不对称程度和方向。0 为对称，正值右偏（右尾更长），负值左偏。

重点方法

python

stats.skew(a)

`stats.kurtosis`

作用

计算峰度——衡量分布的"尖峭"程度。默认使用 Fisher 定义（正态分布峰度 = 0），正值比正态更尖峭，负值更平坦。

重点方法

python

stats.kurtosis(a, fisher=True)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`a`	`array_like`	输入数据	`data`
`fisher`	`bool`	`True` Fisher 定义（正态=0），`False` Pearson 定义（正态=3），默认为 `True`	`False`

`stats.mode`

作用

计算数据中出现频率最高的值（众数）。需指定 keepdims=True（新版 SciPy 要求）。

重点方法

python

stats.mode(a, keepdims=True)

`stats.norm.fit`

作用

从数据中通过最大似然估计拟合正态分布参数，返回 $(\hat{μ}, \hat{σ})$ 。

重点方法

python

stats.norm.fit(data)

综合示例

示例代码

python

import numpy as np
from scipy import stats

np.random.seed(42)
data = np.random.normal(100, 15, 100)

# 集中趋势
print(f"均值: {np.mean(data):.2f}")
print(f"中位数: {np.median(data):.2f}")
print(f"众数: {stats.mode(data.astype(int), keepdims=True)[0][0]}")

# 离散程度
print(f"标准差: {np.std(data):.2f}")
print(f"变异系数: {stats.variation(data):.4f}")

# 分布形态
print(f"偏度: {stats.skew(data):.4f}")
print(f"峰度: {stats.kurtosis(data):.4f}")

# MLE 拟合
muHat, sigmaHat = stats.norm.fit(data)
print(f"MLE 拟合: N({muHat:.1f}, {sigmaHat:.1f}²)")

输出

text

均值: 99.73
中位数: 100.19
众数: 86
标准差: 14.03
变异系数: 0.1406
偏度: -0.1442
峰度: -0.2058
MLE 拟合: N(99.7, 14.0²)

理解重点

变异系数 0.14 表示标准差约为均值的 14%——无量纲，可跨数据集比较
偏度 ≈ -0.14 接近 0——分布近似对称，与正态假设一致
峰度 ≈ -0.21 接近 0——分布形态接近正态（Fisher 定义下正态峰度=0）
stats.norm.fit(data) 返回 $(\hat{μ}, \hat{σ})$ ，不是 $(μ, σ^{2})$

3. 百分位数与四分位距

`np.percentile`

作用

计算数据的第 $q$ 百分位数。四分位距 $I Q R = Q 3 - Q 1$ 是稳健的离散度指标（不受极端值影响）。

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`a`	`array_like`	输入数据	`data`
`q`	`float`、`list[float]`	百分位数 (0-100)	`[25, 50, 75, 90, 95]`

示例代码

python

import numpy as np

np.random.seed(42)
data = np.random.normal(100, 15, 100)

for p in [25, 50, 75, 90, 95]:
    print(f"P{p}: {np.percentile(data, p):.2f}")

q1, q3 = np.percentile(data, [25, 75])
iqr = q3 - q1
print(f"\nQ1={q1:.2f}, Q3={q3:.2f}, IQR={iqr:.2f}")

输出

text

P25: 90.47
P50: 100.19
P75: 109.07
P90: 117.35
P95: 123.64

Q1=90.47, Q3=109.07, IQR=18.60

理解重点

P50 = 中位数 ≈ 100.19，接近理论值 $μ = 100$
IQR ≈ 18.60，理论值 $2 \times 0.6745 σ \approx 20.24$ ，样本值合理
异常值检测规则： $< Q 1 - 1.5 \times I Q R$ 或 $> Q 3 + 1.5 \times I Q R$ 的点视为异常
百分位数比均值/标准差更稳健——常用于箱线图和风险分析（VaR）

常见坑

连续分布用 .pdf()，离散分布用 .pmf()——调错会报 AttributeError
stats.mode 新版要求显式传 keepdims=True——否则会有 DeprecationWarning
stats.kurtosis 默认 Fisher 定义（正态=0），Pearson 定义需 fisher=False（正态=3）
stats.norm.fit 返回 (μ, σ) 不是 (μ, σ²)——标准差不是方差
dist.rvs() 每次调用结果不同——复现需提前 np.random.seed(seed)

小结

scipy.stats 提供 100+ 概率分布，统一接口 pdf/pmf → cdf → ppf → rvs
描述性统计从三个维度刻画数据：集中趋势、离散程度、分布形态
百分位数和 IQR 是稳健统计量——不受极端值影响，广泛用于数据分析和异常检测

SciPy 统计 ​

本章目标 ​

重点方法与概念速览 ​

1. 概率分布对象 ​

stats.norm ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

stats.binom ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

stats.poisson ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

分布对象的统一接口 ​

综合示例 ​

示例代码 ​

输出 ​

理解重点 ​

2. 描述性统计 ​

stats.variation ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

stats.skew ​

作用 ​

重点方法 ​

stats.kurtosis ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

stats.mode ​

作用 ​

重点方法 ​

stats.norm.fit ​

作用 ​

重点方法 ​

综合示例 ​

示例代码 ​

输出 ​

理解重点 ​

3. 百分位数与四分位距 ​

np.percentile ​

作用 ​

参数 ​

示例代码 ​

输出 ​

理解重点 ​

常见坑 ​

小结 ​

SciPy 统计

本章目标

重点方法与概念速览

1. 概率分布对象

`stats.norm`

作用

重点方法

参数

`stats.binom`

作用

重点方法

参数

`stats.poisson`

作用

重点方法

参数

分布对象的统一接口

综合示例

示例代码

输出

理解重点

2. 描述性统计

`stats.variation`

作用

重点方法

参数

`stats.skew`

作用

重点方法

`stats.kurtosis`

作用

重点方法

参数

`stats.mode`

作用

重点方法

`stats.norm.fit`

作用

重点方法

综合示例

示例代码

输出

理解重点

3. 百分位数与四分位距

`np.percentile`

作用

参数

示例代码

输出

理解重点

常见坑

小结