NumPy 运算与统计

本章目标

掌握 NumPy 的逐元素算术运算与比较运算
掌握常用统计函数：求和、均值、方差、极值、累积
理解 axis 参数在多维聚合中的语义
熟练使用三角、指对、取整等常见数学函数
掌握布尔数组的逻辑运算

重点方法与概念速览

名称	类型	作用
`+` `-` `` `/` `*` `//` `%`	运算符	逐元素算术运算
`==` `!=` `>` `<` `>=` `<=`	运算符	逐元素比较，返回布尔数组
`np.array_equal(...)`	函数	判断两个数组是否完全相等
`np.any(...)` / `np.all(...)`	函数	至少一个为真 / 全部为真
`arr.sum(...)` / `arr.mean(...)`	方法	求和 / 均值，支持按轴聚合
`arr.std(...)` / `arr.var(...)`	方法	标准差 / 方差
`arr.min(...)` / `arr.max(...)`	方法	最小值 / 最大值
`arr.argmin(...)` / `arr.argmax(...)`	方法	极值所在索引
`arr.cumsum(...)` / `arr.cumprod(...)`	方法	累积和 / 累积积
`np.sin(...)` / `np.cos(...)`	函数	三角函数（弧度）
`np.exp(...)` / `np.log(...)`	函数	指数 / 自然对数
`np.floor(...)` / `np.ceil(...)` / `np.round(...)`	函数	向下 / 向上取整 / 四舍五入
`np.abs(...)`	函数	绝对值
`np.logical_and/or/not/xor(...)`	函数	布尔数组的逻辑运算

1. 算术运算

作用

NumPy 的算术运算符全部为逐元素操作（element-wise）。标量与数组运算时标量自动广播到每个位置。* 是逐元素乘而非矩阵乘法。

运算符一览

运算符	含义	示例
`+`	逐元素加	`a + b`
`-`	逐元素减	`a - b`
`*`	逐元素乘（非矩阵乘法）	`a * b`
`/`	逐元素除，返回浮点	`a / b`
`**`	逐元素幂	`a ** 2`
`//`	逐元素整除（地板除）	`a // 2`
`%`	逐元素取模	`a % 2`

示例代码

python

import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3, 4])
b = np.array([5, 6, 7, 8])

print(f"a + b = {a + b}")
print(f"a - b = {a - b}")
print(f"a * b = {a * b}")
print(f"a / b = {a / b}")
print(f"a ** 2 = {a ** 2}")
print(f"a // 2 = {a // 2}")
print(f"a % 2 = {a % 2}")

输出

text

a + b = [ 6  8 10 12]
a - b = [-4 -4 -4 -4]
a * b = [ 5 12 21 32]
a / b = [0.2        0.33333333 0.42857143 0.5       ]
a ** 2 = [ 1  4  9 16]
a // 2 = [0 1 1 2]
a % 2 = [1 0 1 0]

理解重点

* 是逐元素乘，不是矩阵乘法——矩阵乘法用 @ 或 np.dot
整数数组做 / 返回浮点数组；做 // 保持整数

2. 比较与聚合

比较运算符

运算符	含义	返回
`==`	逐元素等于	布尔数组
`!=`	逐元素不等	布尔数组
`>`	逐元素大于	布尔数组
`<`	逐元素小于	布尔数组
`>=`	逐元素大于等于	布尔数组
`<=`	逐元素小于等于	布尔数组

`np.array_equal`

作用

判断两个数组是否完全相等（形状一致且每个元素值相等）。这是整体判断，不同于逐元素的 a == b。

重点方法

python

np.array_equal(a1, a2, equal_nan=False)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`a1`	`array_like`	第一个数组	`a`
`a2`	`array_like`	第二个数组	`b`
`equal_nan`	`bool`	是否将两个 `NaN` 视为相等（NumPy 1.19+），默认为 `False`	`True`

`np.any` / `np.all`

作用

np.any：至少一个元素为真（逻辑或）
np.all：所有元素均为真（逻辑与）

两者均支持 axis 按轴聚合。

重点方法

python

np.any(a, axis=None, out=None, keepdims=False, *, where=True)
np.all(a, axis=None, out=None, keepdims=False, *, where=True)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`a`	`array_like`	输入数组，非布尔值会按 `bool(x)` 转换	`a == b`
`axis`	`int` 或 `None`	聚合轴，默认为 `None`（对全部元素）	`0`
`out`	`ndarray` 或 `None`	写入结果的目标数组	——
`keepdims`	`bool`	是否保留被聚合的轴（长度为 1），默认为 `False`	`True`
`where`	`array_like`	只对 `True` 位置参与聚合，默认为 `True`	——

综合示例

示例代码

python

import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3, 4])
b = np.array([4, 3, 2, 1])

print(f"a == b: {a == b}")
print(f"a > b: {a > b}")
print(f"np.array_equal(a, b): {np.array_equal(a, b)}")
print(f"np.any(a == b): {np.any(a == b)}")
print(f"np.all(a != b): {np.all(a != b)}")

输出

text

a == b: [False False False False]
a > b: [False False  True  True]
np.array_equal(a, b): False
np.any(a == b): False
np.all(a != b): True

3. 统计函数

以下 API 是 ndarray 的方法，同时存在同名的 np.xxx 函数，两者等价。

`ndarray.sum`

作用

对数组元素求和，支持按 axis 聚合。全局求和公式：

sum = \sum_{i} a_{i}

重点方法

python

arr.sum(axis=None, dtype=None, out=None, keepdims=False, initial=<no value>, where=True)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`axis`	`int` 或 `tuple[int, ...]` 或 `None`	聚合轴，默认为 `None`（全部元素）	`0`、`1`
`dtype`	`dtype` 或 `None`	累加中间类型，整数数组可指定 `np.int64` 避免溢出	`np.int64`
`out`	`ndarray` 或 `None`	写入结果的目标数组	——
`keepdims`	`bool`	保留被聚合的轴（长度为 1），便于后续广播，默认为 `False`	`True`
`initial`	`scalar`	聚合初始值	`0`
`where`	`array_like`	只对 `True` 位置参与聚合，默认为 `True`	——

`ndarray.mean`

作用

计算算术平均值，签名与 sum 高度一致。公式：

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

重点方法

python

arr.mean(axis=None, dtype=None, out=None, keepdims=False, *, where=True)

参数含义同 sum，不再重复。

`ndarray.std` / `ndarray.var`

作用

计算标准差 / 方差。ddof 控制自由度修正：

$d d o f = 0$ （默认）：总体方差 $σ^{2} = \frac{1}{n} \sum (x_{i} - \bar{x})^{2}$
$d d o f = 1$ ：样本方差 $s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum (x_{i} - \bar{x})^{2}$

重点方法

python

arr.std(axis=None, dtype=None, out=None, ddof=0, keepdims=False, *, where=True)
arr.var(axis=None, dtype=None, out=None, ddof=0, keepdims=False, *, where=True)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`axis`	`int` 或 `tuple` 或 `None`	聚合轴	`0`、`1`
`ddof`	`int`	自由度修正，默认为 `0`（总体）；`1` 为样本（无偏）	`1`
`keepdims`	`bool`	是否保留聚合轴，默认为 `False`	`True`

`ndarray.min` / `ndarray.max`

作用

返回数组的最小值 / 最大值，支持按轴聚合。

重点方法

python

arr.min(axis=None, out=None, keepdims=False, initial=<no value>, where=True)
arr.max(axis=None, out=None, keepdims=False, initial=<no value>, where=True)

`ndarray.argmin` / `ndarray.argmax`

作用

返回最小值 / 最大值所在的索引。多维时 axis=None 返回扁平后的整数索引。

重点方法

python

arr.argmin(axis=None, out=None, keepdims=False)
arr.argmax(axis=None, out=None, keepdims=False)

`ndarray.cumsum` / `ndarray.cumprod`

作用

沿指定轴计算累积和 / 累积积。累积和公式：

{cumsum}_{k} = \sum_{i = 1}^{k} x_{i}

重点方法

python

arr.cumsum(axis=None, dtype=None, out=None)
arr.cumprod(axis=None, dtype=None, out=None)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`axis`	`int` 或 `None`	`None` 先展平再累积，默认为 `None`	`0`
`dtype`	`dtype` 或 `None`	中间类型，整数乘积易溢出可升高精度	`np.int64`
`out`	`ndarray` 或 `None`	目标数组	——

综合示例

示例代码

python

import numpy as np

np.random.seed(42)
arr = np.random.randint(1, 100, size=10)

print(f"数组: {arr}")
print(f"sum={arr.sum()}, mean={arr.mean():.2f}")
print(f"std={arr.std():.2f}, var={arr.var():.2f}")
print(f"min={arr.min()}, max={arr.max()}")
print(f"argmin={arr.argmin()}, argmax={arr.argmax()}")
print(f"cumsum: {arr.cumsum()}")
print(f"前 5 个 cumprod: {arr[:5].cumprod()}")

输出

text

数组: [52 93 15 72 61 21 83 87 75 75]
sum=634, mean=63.40
std=25.37, var=643.64
min=15, max=93
argmin=2, argmax=1
cumsum: [ 52 145 160 232 293 314 397 484 559 634]
前 5 个 cumprod: [       52      4836     72540   5222880 318595680]

4. 沿轴聚合（axis）

作用

对多维数组聚合时，axis 指定沿哪个轴方向进行。核心直觉（二维）：

axis=0：沿行方向走 → 对每一列聚合，结果形状 = 列数
axis=1：沿列方向走 → 对每一行聚合，结果形状 = 行数
axis=None（默认）：对所有元素聚合为标量

口诀："聚合轴就是被吃掉的轴"——axis=0 聚合后行维度消失，剩下列。

示例代码

python

import numpy as np

arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
print(f"原数组:\n{arr}")
print(f"全体 sum(): {arr.sum()}")
print(f"按列 sum(axis=0): {arr.sum(axis=0)}")
print(f"按行 sum(axis=1): {arr.sum(axis=1)}")
print(f"按列 mean(axis=0): {arr.mean(axis=0)}")
print(f"按行 mean(axis=1): {arr.mean(axis=1)}")

输出

text

原数组:
[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
全体 sum(): 45
按列 sum(axis=0): [12 15 18]
按行 sum(axis=1): [ 6 15 24]
按列 mean(axis=0): [4. 5. 6.]
按行 mean(axis=1): [2. 5. 8.]

理解重点

三维以上建议始终用 keepdims=True 调试，结果形状比不带 keepdims 直观
axis=0 聚合结果取第一行看：[12, 15, 18] = [1+4+7, 2+5+8, 3+6+9]

5. 数学函数

`np.sin` / `np.cos`

作用

计算三角函数，输入按弧度计算（非角度）。转换公式： $rad = θ ° \times \frac{π}{180}$ 。

重点方法

python

np.sin(x, /, out=None, *, where=True, dtype=None)
np.cos(x, /, out=None, *, where=True, dtype=None)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`x`	`array_like`	输入弧度值	`[0, np.pi/2, np.pi]`
`out`	`ndarray` 或 `None`	写入结果的目标数组	——
`where`	`array_like`	只对 `True` 位置执行运算	——
`dtype`	`dtype` 或 `None`	指定输出类型	——

`np.exp`

作用

计算自然指数 $e^{x}$ ，其中 $e \approx 2.71828$ 。

重点方法

python

np.exp(x, /, out=None, *, where=True, dtype=None)

`np.log` / `np.log10`

作用

np.log 计算自然对数 $\ln x$ ，np.log10 计算常用对数 $\log_{10} x$ 。输入必须 $> 0$ ，否则返回 -inf 或 nan。

重点方法

python

np.log(x, /, out=None, *, where=True, dtype=None)
np.log10(x, /, out=None, *, where=True, dtype=None)

`np.floor` / `np.ceil`

作用

向下取整 / 向上取整。注意"向下"对负数而言是更负方向： $f l o o r (- 1.2) = - 2$ 。

重点方法

python

np.floor(x, /, out=None, *, where=True, dtype=None)
np.ceil(x, /, out=None, *, where=True, dtype=None)

`np.round`

作用

四舍五入到指定小数位。NumPy 采用银行家舍入（.5 向偶数舍入），结果可能与"严格四舍五入"不同。

重点方法

python

np.round(a, decimals=0, out=None)

参数

参数名	类型	说明	示例取值
`a`	`array_like`	输入数组	`[1.5, 2.5, 3.5]`
`decimals`	`int`	保留小数位数，可为负数（舍入到 10/100 位），默认为 `0`	`2`
`out`	`ndarray` 或 `None`	目标数组	——

`np.abs`

作用

计算绝对值。复数输入时返回模长： $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 。

重点方法

python

np.abs(x, /, out=None, *, where=True, dtype=None)

综合示例

示例代码

python

import numpy as np

arr = np.array([0, np.pi/6, np.pi/4, np.pi/3, np.pi/2])
print(f"sin: {np.sin(arr).round(3)}")
print(f"cos: {np.cos(arr).round(3)}")

arr2 = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
print(f"exp: {np.exp(arr2).round(3)}")
print(f"log: {np.log(arr2).round(3)}")
print(f"log10: {np.log10(arr2).round(3)}")

arr3 = np.array([1.2, 2.5, 3.7, -1.2, -2.5])
print(f"floor: {np.floor(arr3)}")
print(f"ceil:  {np.ceil(arr3)}")
print(f"round: {np.round(arr3)}")
print(f"abs:   {np.abs(arr3)}")

输出

text

sin: [0.    0.5   0.707 0.866 1.   ]
cos: [1.    0.866 0.707 0.5   0.   ]
exp: [  2.718   7.389  20.086  54.598 148.413]
log: [0.    0.693 1.099 1.386 1.609]
log10: [0.    0.301 0.477 0.602 0.699]
floor: [ 1.  2.  3. -2. -3.]
ceil:  [ 2.  3.  4. -1. -2.]
round: [ 1.  2.  4. -1. -2.]
abs:   [1.2 2.5 3.7 1.2 2.5]

6. 逻辑函数

专门用于布尔数组的逻辑运算。输入非布尔时先按 bool(x) 转换。

`np.logical_and`

作用

按位逻辑与，等价于 a & b。

重点方法

python

np.logical_and(x1, x2, /, out=None, *, where=True, dtype=None)

`np.logical_or`

作用

按位逻辑或，等价于 a | b。

重点方法

python

np.logical_or(x1, x2, /, out=None, *, where=True, dtype=None)

`np.logical_not`

作用

按位逻辑非，等价于 ~a。

重点方法

python

np.logical_not(x, /, out=None, *, where=True, dtype=None)

`np.logical_xor`

作用

按位异或：相同为 False，不同为 True。

重点方法

python

np.logical_xor(x1, x2, /, out=None, *, where=True, dtype=None)

综合示例

示例代码

python

import numpy as np

a = np.array([True, True, False, False])
b = np.array([True, False, True, False])

print(f"logical_and: {np.logical_and(a, b)}")
print(f"logical_or:  {np.logical_or(a, b)}")
print(f"logical_not(a): {np.logical_not(a)}")
print(f"logical_xor: {np.logical_xor(a, b)}")

输出

text

logical_and: [ True False False False]
logical_or:  [ True  True  True False]
logical_not(a): [False False  True  True]
logical_xor: [False  True  True False]

常见坑

* 是逐元素乘，不是矩阵乘法——矩阵乘法用 @ 或 np.dot
axis 方向容易理解反：axis=0 是对列聚合（行被吃掉），不是"对第 0 行操作"
np.round 遵循银行家舍入（.5 向偶数舍入），2.5 → 2，3.5 → 4
ddof=0（默认）是有偏方差 / 标准差；推断统计应用 ddof=1 做无偏估计
np.log(0) 返回 -inf 并发出 RuntimeWarning；负数返回 nan
大整数数组做 cumprod 极易溢出，应先 .astype(np.int64) 或转浮点

小结

运算与统计是 NumPy 在数据分析中的核心价值：无循环处理任意维度数据
熟练使用 axis 是 NumPy 进阶的分水岭
统计函数的 ddof、keepdims 两个参数对结果影响大，每次调用时明确意图
ufunc 的通用参数（out、where、dtype）是内存和性能优化的入口

NumPy 运算与统计 ​

本章目标 ​

重点方法与概念速览 ​

1. 算术运算 ​

作用 ​

运算符一览 ​

示例代码 ​

输出 ​

理解重点 ​

2. 比较与聚合 ​

比较运算符 ​

np.array_equal ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

np.any / np.all ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

综合示例 ​

示例代码 ​

输出 ​

3. 统计函数 ​

ndarray.sum ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

ndarray.mean ​

作用 ​

重点方法 ​

ndarray.std / ndarray.var ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

ndarray.min / ndarray.max ​

作用 ​

重点方法 ​

ndarray.argmin / ndarray.argmax ​

作用 ​

重点方法 ​

ndarray.cumsum / ndarray.cumprod ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

综合示例 ​

示例代码 ​

输出 ​

4. 沿轴聚合（axis） ​

作用 ​

示例代码 ​

输出 ​

理解重点 ​

5. 数学函数 ​

np.sin / np.cos ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

np.exp ​

作用 ​

重点方法 ​

np.log / np.log10 ​

作用 ​

重点方法 ​

np.floor / np.ceil ​

作用 ​

重点方法 ​

np.round ​

作用 ​

重点方法 ​

参数 ​

np.abs ​

作用 ​

重点方法 ​

综合示例 ​

示例代码 ​

输出 ​

6. 逻辑函数 ​

np.logical_and ​

作用 ​

重点方法 ​

NumPy 运算与统计

本章目标

重点方法与概念速览

1. 算术运算

作用

运算符一览

示例代码

输出

理解重点

2. 比较与聚合

比较运算符

`np.array_equal`

作用

重点方法

参数

`np.any` / `np.all`

作用

重点方法

参数

综合示例

示例代码

输出

3. 统计函数

`ndarray.sum`

作用

重点方法

参数

`ndarray.mean`

作用

重点方法

`ndarray.std` / `ndarray.var`

作用

重点方法

参数

`ndarray.min` / `ndarray.max`

作用

重点方法

`ndarray.argmin` / `ndarray.argmax`

作用

重点方法

`ndarray.cumsum` / `ndarray.cumprod`

作用

重点方法

参数

综合示例

示例代码

输出

4. 沿轴聚合（axis）

作用

示例代码

输出

理解重点

5. 数学函数

`np.sin` / `np.cos`

作用

重点方法

参数

`np.exp`

作用

重点方法

`np.log` / `np.log10`

作用

重点方法

`np.floor` / `np.ceil`

作用

重点方法

`np.round`

作用

重点方法

参数

`np.abs`

作用

重点方法

综合示例

示例代码

输出

6. 逻辑函数

`np.logical_and`

作用

重点方法